黎曼积分公式 黎曼积分可积条件

黎曼积分，所说的正常积分、定积分，是黎曼积分首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义，提出者是黎曼。

概念

　　作为曲线与坐标轴所夹面积的黎曼积分

对于一在区间[a,b]{displaystyle lbrack a,bbrack }上之给定非负函数f(x){displaystyle f(x)}，我们想要确定f(x){displaystyle f(x)}所代表的曲线与X{displaystyle X}坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为

黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。同时请注意，如f(x){displaystyle f(x)}取负值，则相应的面积值S{displaystyle S}亦取负值。

一列黎曼和。右上角的数字表示矩形面积总和。这列黎曼和趋于一个定值，记为此函数的黎曼积分。

定义

区间的分割

一个闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列a=x0=max(xi+1− − -->xi){displaystyle lambda =max(x_{i+1}-x_{i})}，其中0≤ ≤ -->i≤ ≤ -->n− − -->1{displaystyle 0leq ileq n-1}。

再定义取样分割。一个闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}的一个取样分割是指在进行分割a=x0xi+1{displaystyle x_{i}leq t_{i}leq x_{i+1}}。λ λ -->{displaystyle lambda }的定义同上。

精细化分割：设x0,… … -->,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}以及t0,… … -->,tn− − -->1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}构成了闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}的一个取样分割，y0,… … -->,ym{displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}}和s0,… … -->,sm− − -->1{displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}}是另一个分割。如果对于任意0≤ ≤ -->i≤ ≤ -->n{displaystyle 0leq ileq n}，都存在r(i){displaystyle r(i)}使得xi=yr(i){displaystyle x_{i}=y_{r(i)}}，并存在r(i)≤ ≤ -->j≤ ≤ -->r(i+1){displaystyle r(i)leq jleq r(i+1)}使得ti=sj{displaystyle t_{i}=s_{j}}，那么就把分割：y0,… … -->,ym{displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}}、s0,… … -->,sm− − -->1{displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}}称作分割x0,… … -->,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}、t0,… … -->,tn− − -->1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

黎曼和

对一个在闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}有定义的实值函数f{displaystyle f}，f{displaystyle f}关于取样分割x0,… … -->,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}、t0,… … -->,tn− − -->1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}的黎曼和定义为以下和式：

和式中的每一项是子区间长度xi+1− − -->xi{displaystyle x_{i+1}-x_{i}}与在ti{displaystyle t_{i}}处的函数值f(ti){displaystyle f(t_{i})}的乘积。直观地说，就是以标记点ti{displaystyle t_{i}}到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

黎曼积分

不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。

要使得“越来越‘精细’”有效，需要把λ λ -->{displaystyle lambda }趋于0。如此[xi,xi+1]{displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}中的函数值才会与f(ti){displaystyle f(t_{i})}接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。

严格定义如下：S{displaystyle S}是函数f{displaystyle f}在闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ϵ ϵ -->>0{displaystyle psilon >0}，都存在δ δ -->>0{displaystyle delta >0}，使得对于任意的取样分割x0,… … -->,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}、t0,… … -->,tn− − -->1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}，只要它的子区间长度最大值λ λ -->≤ ≤ -->δ δ -->{displaystyle lambda leq delta }，就有：

也就是说，对于一个函数f{displaystyle f}，如果在闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f{displaystyle f}的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f{displaystyle f}在闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数f{displaystyle f}为黎曼可积的。

这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有λ λ -->≤ ≤ -->δ δ -->{displaystyle lambda leq delta }的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。

另一个定义: S{displaystyle S}是函数f{displaystyle f}在闭区间[a,b]{displaystyle [a,b]}上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ϵ ϵ -->>0{displaystyle psilon >0}，都存在一个取样分割x0,… … -->,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}、t0,… … -->,tn− − -->1{displaystyle t_{0},ldots ,t_{n-1}}，使得对于任何比其“精细”的分割y0,… … -->,ym{displaystyle y_{0},ldots ,y_{m}} and s0,… … -->,sm− − -->1{displaystyle s_{0},ldots ,s_{m-1}}，都有：

这两个定义是等价的。如果有一个S{displaystyle S}满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个S{displaystyle S}满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值λ λ -->≤ ≤ -->δ δ -->{displaystyle lambda leq delta }的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于δ δ -->{displaystyle delta }，于是满足

其次证明满足第二个定义的S{displaystyle S}也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割x0,… … -->,xn{displaystyle x_{0},ldots ,x_{n}}使得它的上达布和与下达布和都与S{displaystyle S}相差不超过ϵ ϵ -->2{displaystyle { rac {psilon }{2}}}。令r{displaystyle r}等于max0≤ ≤ -->i≤ ≤ -->n− − -->1(Mi− − -->mi){displaystyle max _{0leq ileq n-1}(M_{i}-m_{i})}，其中Mi{displaystyle M_{i}}和mi{displaystyle m_{i}}是f{displaystyle f}在[xi,xi+1]{displaystyle [x_{i},x_{i+1}]}上的上确界和下确界。再令δ δ -->{displaystyle delta }是ϵ ϵ -->2rn{displaystyle { rac {psilon }{2rn}}}和min0≤ ≤ -->i≤ ≤ -->n− − -->1(xi+1− − -->xi){displaystyle min _{0leq ileq n-1}(x_{i+1}-x_{i})}中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于δ δ -->{displaystyle delta }时，f{displaystyle f}关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差ϵ ϵ -->2{displaystyle { rac {psilon }{2}}}，所以和S{displaystyle S}至多相差ϵ ϵ -->{displaystyle psilon }。

由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分(即第二个定义)，因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。

黎曼积分的性质

线性性：黎曼积分是线性变换，也就是说，如果f{displaystyle f}和g{displaystyle g}在区间[a,b]{displaystyle [a,b]}上黎曼可积，α α -->{displaystyle alpha }和β β -->{displaystyle beta }是常数，则：

由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间[a,b]{displaystyle [a,b]}后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射I:f⟶ ⟶ -->∫ ∫ -->abfdx{displaystyle I:flongrightarrow int _{a}^{b}fdx}是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。

正定性：如果函数f{displaystyle f}在区间[a,b]{displaystyle [a,b]}上几乎处处(勒贝格测度意义上)大于等于0，那么它在[a,b]{displaystyle [a,b]}上的积分也大于等于零。如果f{displaystyle f}在区间[a,b]{displaystyle [a,b]}上几乎处处大于等于0，并且它在[a,b]{displaystyle [a,b]}上的积分等于0，那么f{displaystyle f}几乎处处为0。

可加性：如果函数f{displaystyle f}在区间[a,c]{displaystyle [a,c]}和[c,b]{displaystyle [c,b]}上都可积，那么f{displaystyle f}在区间[a,b]{displaystyle [a,b]}上也可积，并且有

无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立。

[a,b]{displaystyle [a,b]}上的实函数f{displaystyle f}是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。

如果[a,b]{displaystyle [a,b]}上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。

如果fn{displaystyle {f_{n}}}是[a,b]{displaystyle [a,b]}上的一个一致收敛序列，其极限为f{displaystyle f}，那么：

如果一个实函数在区间[a,b],{displaystyle [a,b],}上是单调的，则它是黎曼可积的，因为其中不连续的点集是可数集。

黎曼积分的推广

黎曼积分可推广到值属于n{displaystyle n}维空间Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}的函数。积分是线性定义的，即如果f=(f1,… … -->,fn){displaystyle mathbf {f} =(f_{1},dots ,f_{n})}，则∫ ∫ -->f=(∫ ∫ -->f1,… … -->,∫ ∫ -->fn){displaystyle int mathbf {f} =(int f_{1},,dots ,int f_{n})}。特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也可定义积分。

黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同反常积分(improper integral)一样。我们可以令

不幸的是，这并不是很合适。平移不变性(如果把一个函数向左或向右平移，它的黎曼积分应该保持不变)丧失了。例如，令f(x)=1{displaystyle f(x)=1}若x>0{displaystyle x>0}，f(0)=0{displaystyle f(0)=0}，f(x)=− − -->1{displaystyle f(x)=-1}若x<0{displaystyle x<0}。则对所有x{displaystyle x}

但如果我们将f(x){displaystyle f(x)}向右平移一个单位得到f(x− − -->1){displaystyle f(x-1)}，则对所有x>1{displaystyle x>1}，我们得到

由于这是不可接受的，我们可以尝试定义：

此时，如果尝试对上面的f{displaystyle f}积分，我们得到+∞ ∞ -->{displaystyle +infty }，因为我们先使用了极限b→ → -->∞ ∞ -->{displaystyle bo infty }。如果使用相反的极限顺序，我们得到− − -->∞ ∞ -->{displaystyle -infty }。

这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令fn(x)=1/n{displaystyle f_{n}(x)=1/n}在[0,n]{displaystyle [0,n]}上，其它域上等于0。对所有n{displaystyle n}，∫ ∫ -->fndx=1{displaystyle int f_{n},dx=1}。但fn{displaystyle f_{n}}一致收敛于0，因此limfn{displaystyle lim f_{n}}的积分是0。因此∫ ∫ -->fdx≠lim∫ ∫ -->fndx{displaystyle int f,dxot =lim int f_{n},dx}。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。

一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。

事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock–Kurzweil积分。

扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子xi− − -->xi+1{displaystyle x_{i}-x_{i+1}}，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。

相关条目

不定积分

积分

勒贝格积分

黎曼-斯蒂尔杰斯积分

数值积分

达布积分

参考文献

Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198.